Toshiharu Narita
過去5年間鶴南受験生全員                       合格の

ホームページの問題の続きです。

 まず問題の解答からです。初級の一筆書きの問題ですが、答えは「ありません。」すべて、一筆書きできます。?、と思った方はやってみて下さい、できます。

 次に、4面体の問題ですが、これは正四面体の問題の応用です。最初に、一辺が、1cmの四面体について、体積を求めてみたいと思います。例えば、△OAB'、この正三角形の面積を求めましょう。AB'の中点をHとおけば、三平方の定理からOH=√3/2(2分のルート3)であることが分かります。よって、その面積は△OAB'=√3/4です。次に、OH=HC'の△OHC'を考え、点Oから、辺HC'に垂線OIを引きます。また、三平方の定理を使ってOI=√6/3であることが分かります。よって、一辺が1cmの四面体の体積は√3/4×√6/3×1/3=√2/12(12分の√2)になります。あとは、一辺が6cmの正四面体は長さだったら、6倍、面積だったら36倍、体積だったら216倍すればいいので一辺が6㎝の四面体の体積は18√2ということのなります。

 次に△OAB'を底面としてみると、四面体OABC'は正四面体OAB'C'の底面積が、2/3ですから、高さは両方同じなので、四面体OABC'の体積は12√2ですさらに、四面体OABC'を△OAC'を底面としてみます。すると、△OACは△OAC'の1/2です。ということで、四面体OABCの体積は6√2㎤ということになります。

​ 大まかな説明のみとさせてもらいました、単位等、省略しました。悪しからずご了承ください。

 

 次に、上級の問題です。空間ベクトルが終わった方

 

が対象の問題です。考え方は簡単なんですが、

四面体10-2.jpeg
10-17課題ベクトルホーム.jpeg

 OHベクトルとABベクトルの内積=0とOHベクトルとACベクトルの内積=0とs+t+u=1の3本

式から、s,t,uを求め、OHベクトルを2乗して、OHの長さを求めます。これと余弦定理を使って、AB,BC,CAの長さを求め、さらにsin∠CAB求めて、△ABCの面積を求めます。

 これにOHの値をかけて、1/3倍すれば、先ほどベクトルを使わないで、求めた、6√2に一致

​すれば正解ですが、なかなか一致しないような気がします。正答率がどのくらいなのか知りたい気がしますが。

tree-11長方円.jpg